ba math, Previous year question paper for Math 2023-24 (BA/BSC 3rd)

                          

        B.A./ B.Sc. (Part-III) EXAMINATION, 2023

   (Common for the faculties of Arts and Science)[ Also Common with Subsidiary Paper of  B.A. / B.Sc. (Hons.) Part-III ]

           (Three-Year Scheme of 10+2+3 Pattern)

                          MATHEMATICS-I

                                (Algebra)

1. No supplementary Answer-book will be given to any candidate. Hence the candidates should write their answers precisely in the main answer book only. All the parts of one question should be answered at one place in the answer book. One complete question should not be answered at different places in the answer-book.

2. Write your roll number on question paper before start writing answers of questions.

3. Attempt five questions in all, selecting atleast one question from each unit. All questions carry equal marks.

किसी भी परीक्षार्थी को पूरक उत्तर-पुस्तिका नहीं दी जाएगी। अतः परीक्षार्थियों को चाहिए कि वे मुख्य उत्तर-पुस्तिका में ही समस्त प्रश्नों के उत्तर लिखें। किसी भी प्रश्न के अन्तर्गत पूछे गए विभिन्न प्रश्नों के उत्तर, उत्तर-पुस्तिका में अलग-अलग स्थानों पर हल करने के बजाए एक ही स्थान पर हल करें।

प्रश्नों के उत्तर लिखने पूर्व प्रश्न-पत्र पर रोल नम्बर अवश्य लिखिए।

प्रत्येक इकाई में से कम से कम एक प्रश्न का चयन करते हुए कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर दीजिए। सभी प्रश्नों के अंक समान हैं।           

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                         UNIT - 1 / इकाई - I

Show that G={[a 0]| a € Ro }

                        {[0 0]|              } is a  commutative group under matrix multiplication, where Ro is set of non-zero real numbers. 

सिद्ध कीजिए कि G = {|a o} | a € Ro मैट्रिक्स गुणन के लिए एक क्रमविनिमेय ग्रुप है, जहाँ Ro अशून्य वास्तविकता सख्याओ का समुच्चय है।

(b)  Prove that every infinite cyclic group has two and only two generations.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक अपरिमित चकिय समूह के दो ही जनक होते है।

(c) Let (G,*) be a group, if a€G and 

N(a)=(x) x€G and a*x=x*a)

then show that N(a) is a subgroup of group G.

माना (G,*) एक समूह है, यदि a€G तथा

N(a)=(x) x€G, a*x=x*a)

तो सिद्ध कीजिए की N(a), G का उपसमूह है।

(a) Prove that every proper subgroup of an infinite cyclic group is always infinite.

सिद्ध कीजिए कि अपरिमित चक्रीय ग्रुप का प्रत्येक उचित उपग्रुप अपरिमित होता है।

(b) H = {(1), (12)} and K = {(1), (13)} are two subgroups of the symmetric group S3, then prove that HK # KH.

सममित समूह S, के दो उपसमूह H = {(1), (12)} और K = {(1)(13)} हैं तो सिद्ध कीजिए कि HK # KH.

(c) Let f= gof. माना f=

1 2 3 4

2 3 4 1

,g= 1 2 3 4

       3 2 1  4

be two permutations on 4 symbols, then find fog and gof,

                         UNIT-II / इकाई-II

(a) If f is a homomorphism of a group G to a group G' with kernel K, then prove that K is a subgroup of G.

यदि / समूह G से G' पर एक समाकारिता हो तो, सिद्ध कीजिए कि की अष्टि K ग्रुप G का एक उपग्रुप होता है।

(b) Let f : G⇒H be an isomorphism from the group Conto the group H and g : HK be an isomorphism from the group H onto group K. Show that the composite mapping gof is anisomorphism from G onto K.

माना f: G→H समूह G से समूह H पर तुल्यकारिता है तथा g : H→K समूह H से समूह K पर तुल्यकारिता है। सिद्ध

कीजिए कि संयुक्त प्रतिचित्रण gof समूह G से समूह K पर तुल्यकारिता है।

(c) Show that the mapping f: C→C; f(x+ iy) =iy, V x + iy∈ C is a homomorphism, where C is the additive group of complex numbers.

सिद्ध कीजिए कि फलन /: C→C; f (x +iy) =iy, Vx+iye C समाकारिता है। जहाँ, C सम्मिश्र संख्याओं का जोड़ संक्रिया समूह है।

(a) Prove that the intersection of any two normal subgroups of a group is a normal subgroup.

सिद्ध कीजिए कि किसी समूह के किन्हीं दो विशिष्ट उपसमूहों का सर्वनिष्ठ उस समूह का एक विशिष्ट उपसमूह होता है।

(b) Find the quotient group G/H, where G = (Z, + ) and H = (5Z, +). Also prepare the composition table of G/H.

विभाग समूह G/H ज्ञात कीजिए, जहाँ G = (2, + ) तथा H = (52, + ) हैं। G/H के लिए संक्रिया सारणी भी बनाओं।

(c) a) Prove that every quotient group of an abelian group abelian.

सिद्ध कीजिए कि एक क्रमविनिमेय समूह का प्रत्येक विभाग समूह क्रमविनिमेय होता है।

 

                     UNIT-III / इकाई - III

For any real numbers a, be R, we define a b=a+b+ 1 and a© b=a+ b + ab then show that (R, , ) is a field.

यदि a @_b=a+b+1 तथा ao b=a+b+ab है जिसमें c be R वास्तविक संख्याएँ है तो सिद्ध कीजिए कि

(R, , o) एक क्षेत्र है।

(b) Prove that every field is an integral domain but the converse is not necessarily true.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक क्षेत्र एक पूर्णांकीय प्रान्त है किन्तु इसका विलोम सत्य हो यह आवश्यक नहीं है।

(c) Show that the necessary and sufficient conditions for a nonempty subset K of a field F to be subfield are :

(I) ae K, be Ka - be K

(ii)ae K, 0be K→ab-leK

सिद्ध कीजिए कि क्षेत्र F के अरिक्त उपसमुच्चय K का उपक्षेत्र होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध यह है :

(1)ae K, b∈ K→a-beK

(11)ae K, 0#be K→ab-leK

(b) Let,ø be a homomorphism of a ring R into a ringwith kernel K, prove that will be a

monomorphism iff K = {0}.

यदि 4 : RS वलय R से वलय S पर समाकारिता है तो सिद्ध करो कि 4 तभी और केवल तभी एकैकी समाकारिता होगी, जबकि समाकारिता की अष्टि K = {0}.

                     UNIT - IV / इकाई - IV

7. (a) Show that ring of integers (Z, +, ·) is a principal ideal ring.

सिद्ध कीजिए कि पूर्णाकों का वलय (Z, +, ·) एक मुख्य गुणजावली वलय है।

(b) Prove that an ideal I of a commutative ring R with unity is maximal ideal if and only if the quotient ring R/I is a field.

सिद्ध कीजिए कि तत्समकी क्रमविनिमेय वलय R की कोई गुणजावली I एक उच्चिठ गुणजावली है यदि और केवल यदि विभाग वलय R/I एक क्षेत्र है।

8.(a) Prove that the field <Q, +, > of rational numbers is a prime field.

सिद्ध कीजिए कि परिमेय संख्याओं का क्षेत्र < Q, +, > एक अभाज्य क्षेत्र है।

(b) Show that the necessary and sufficient condition for a non-empty subset W of a vector space V(F) to be a subspace of V(F) is w1, W2e W and a, BE FOow1 @BOwge W.

सिद्ध कीजिए कि सदिश समष्टि V(F) के एक अरिक्त उपसमुच्चय W के V(F) की उपसमष्टि होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध है कि W1, W2E W तथा a, Be F> dow1 @BOwge W.

                      UNIT - V / इकाई - V

9. (a) Show that the following vectors span the vector space R³:

(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0).

सिद्ध कीजिए कि निम्न सदिश, सदिश समष्टि R3 को विस्तृति करते है : (1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0).

(b) Prove that, if {x1, X2, X3} is a basis for V (R) then {x 1 + X2, X1 + X3, x2 + x 3 } is also a basis of V(R). 

सिद्ध कीजिए कि यदि {x1, X2, xx} किसी सदिश समष्टि V(R) का आधार है, तो {x1 + X2, Xq + X3, x2 + x3 } भी V(R) का आधार है।

10.(a) Prove that the necessary and sufficient conditions for a vector space V(F) to be the direct sum of two of its subspaces U(F) and W(F) are :

(I)V= U + W

(ii)UnW = {0}

सिद्ध कीजिए कि एक सदिश समष्टि V(F) का अपनी दो उपसमष्टियों U(F) और W(F) का अनुलोम योगफल होने के आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबन्ध निम्न है :

(1) V=U + W

(iil UnW = {0}

(b) If W is a subspace of a finite dimensional vector space V(F), then show that dim W≤ dim V.

यदि W एक परिमित विमीय सदिश समष्टि V(F) का उपसमष्टि हो, तो सिद्ध कीजिए कि विमा W≤ विमा V.