B .A./ B.Sc. (Part-III) EXAMINATION, 2023
(Common for the faculties of Arts and Science)
[Also Common with Subsidiary Paper of B. A. / B.Sc. (Hons.) Part-III ]
(Three-Year Scheme of 10+2+3 Pattern)
MATHEMATICS-II
(COMPLEX ANALYSIS)
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1. No supplementary Answer-book will be given to any candidate. Hence the candidates should write their answers precisely in the main answer book only. All the parts of one question should be answered at one place in the answer book. One complete question should not be answered at different places in the answer-book.
2. Write your roll number on question paper before start writing answers of questions.
3. Attempt five questions in all, selecting atleast one question from each unit. All questions carry equal marks.
किसी भी परीक्षार्थी को पूरक उत्तर-पुस्तिका नहीं दी जाएगी। अतः परीक्षार्थियों को चाहिए कि वे मुख्य उत्तर-पुस्तिका में ही समस्त प्रश्नों के उत्तर लिखें। किसी भी प्रश्न के अन्तर्गत पूछे गए विभिन्न प्रश्नों के उत्तर, उत्तर-पुस्तिका में अलग-अलग स्थानों पर हल करने के बजाए एक ही स्थान पर हल करें।
प्रश्नों के उत्तर लिखने पूर्व प्रश्न-पत्र पर रोल नम्बर अवश्य लिखिए।
प्रत्येक इकाई में से कम से कम एक प्रश्न का चयन करते हुए कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर दीजिए। सभी प्रश्नों के अंक समान हैं।
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UNIT - I / इकाई - I
(a) Determine the harmonic conjugate and find the corresponding f(z) in terms of z for the following function
निम्न फलन के लिए संयुग्मी प्रसंवादी निर्धारित कीजिए तथा संगत वैश्लेषिक फलन f(2) भी z के पदों में ज्ञात किजिए । u(x, y) = excosy.
(b) Show that the function / (z) = z is not differentiable at any point.
प्रदर्शित कीजिए कि फलन f (2) = z किसी भी बिन्दु पर अवकलनीय नहीं है।
2.(a) State and prove the necessary condition for a function f(z) to be analytic.
फलन f (z) के विश्लेषिक होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध का कथन लिखते हुए सिद्ध कीजिए।
(b) Define closed set and connected set.
संवृत्त समुच्चय तथा सम्बद्ध समुच्चय को परिभाषित कीजिए।
UNIT - II / इकाई - II
3 (a) State and prove fundamental theorem of integral calculus for complex functions.
सम्मिश्र फलनों के लिए समाकलन का मूल प्रमेय लिखते हुए सिद्ध कीजिए।
(b) Show that (प्रदर्शित कीजिए कि) :
dz z - a = 2 mi
Where C is given by the equation |z – a| = R (जहाँ C का/समीकरण |z – a| = R है).
4 (a) Find the value of (मान ज्ञात कीजिए) : sino z S || = 1 (2 - 6 ) 3
(b) State and prove Liouville's theorem.
ल्यूवले प्रमेय का कथन लिखते हुए सिद्ध कीजिए।
UNIT - III / इकाई - III
5 Find the radius of convergence of the following:
निम्न की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात किजिए :
dz
n√√2 + i
1 + 2in
6.(a) Find the expansion of f (2) = which is valid for the following regions.
फलन f ( 2 ) = 27. | = 20 + [ an (±n + z").
(b) Expand cos z about the point z="/2.
बिन्दु z="/2 के समीप्य cos 2 का प्रसार कीजिए।
1</2 <3
UNIT - IV / इकाई - IV
7.(a) Find the zeros and the nature of singularities of the following.
निम्न फलन के शून्य तथा विचित्रताओं की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
f(z) = f(2) =
(b) Determine the nature of the pole at the origin of the function:
निम्न फलन के अनंतक की मूलबिन्दू पर प्रकृति ज्ञात कीजिए।
f(2) = 2 - 2 ez z sin mz 2TT
8. (a) Find the residues of the following atz = 1, 2, and infinity.
निम्न फलन का z = = 1, 2, 3 तथा अनन्त पर अवशेष ज्ञात कीजिए।
(b) Prove that every polynomial of degree n has exactly n zeros.
सिद्ध कीजिए कि कोटि n के प्रत्येक बहुपद के ठीक n शून्य होते हैं।
UNIT - V / इकाई - V
(A)Evaluate (मान ज्ञात कीजिए) :
(2-1) (2-2) (z-3)
cos 20 5 + 4 cost
(B) Evaluate (मान ज्ञात कीजिए) :
dx (1+x²)²
10. (a) State and prove sufficient conditions for w = f (2) to represent a conformal mapping.
फलन w = f (z) के अनुकोण प्रतिचित्रण के निरूपण के लिये पर्याप्त प्रतिबन्ध लिखते हुए सिद्ध कीजिए।
(b) Find the image of the infinite strip under the transformation w= 1-4
रूपान्तरण w= के अन्तर्गत अनन्त पट्टी <y> का प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए !
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